分形理论为量化致密储层微观孔隙结构的复杂性提供了有力的数学工具, 其核心理念包括自相似性和统计分形。自相似性是分形理论的基础, 指孔隙结构在不同观测尺度下（如放大10倍或100倍）呈现出统计意义上的相似模式, 例如, 页岩有机质微孔的分支形态在纳米级与亚微米级尺度上具有一致性。统计分形则强调, 尽管孔隙结构呈现随机分布, 但其背后存在统计规律, 这一概念非常适用于描述致密储层中高度非均质的孔隙网络。例如, 当孔隙数量（N）与特征尺度（如孔径r）满足幂律关系N（r）∝r-D时, 即可基于此关系计算孔隙结构的分形维数（D）^{[4, 9]}。分形维数是分形几何理论的核心参数, 也是表征孔隙结构复杂程度的关键指标。对于致密储层, 分形维数（D）通常介于2~3之间, 其物理意义可以理解为：D值越大（趋近于3）表明孔隙结构越复杂（如页岩有机质中的蜂窝状微孔）; D值越小（趋近于2）则表明孔隙结构越接近规则几何形态（如均质砂岩的粒间孔）^[10]。

1.2.1 单重分形模型

单重分形模型使用单一分形维数来描述孔隙结构的整体复杂性, 其基本假设是孔隙在全尺度范围内具有统一的自相似性。该模型计算简便, 常用模型包括气体吸附法中的FHH（Frenkel-Halsey-Hill）模型和压汞法中的毛管束模型等, 能够通过单一参数快速量化孔隙非均质性。然而, 其局限性在于无法反映不同尺度（如微孔与大孔）孔隙的结构差异, 对于非均质性强、多类型孔隙混合的岩石, 表征精度较低。因此, 单重分形模型更适用于孔隙结构相对简单、均质性较强的岩石, 例如泥页岩^[11]。

该模型通过分析双对数坐标下润湿相饱和度（S）与毛管压力（p_c）之间的关系曲线, 计算对应直线的斜率来得到分形维数（图1）。并通过拟合优度（R²）表明分形维数值的可信程度, R²越接近1说明计算得到的分形维数D越真实、可靠。

图1

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	图1 典型泥页岩样品lgS与lgpc的关系曲线（据参考文献[12]）

1.2.2 多重分形模型

多重分形模型通过分形谱或多个分形维数来表征孔隙结构, 可考虑不同尺度孔隙自相似性的差异, 从而精细刻画微孔、中孔、大孔等不同尺度范围的孔隙非均质性, 并捕捉孔隙分布的“局部不规则性”。由于其计算过程相对复杂, 需要对不同尺度数据进行分段拟合或进行多重分形谱分析, 关键参数包括奇异强度、谱宽等。该模型适用于孔隙结构复杂、非均质性强、多类型孔隙共存的岩石。这类岩石的孔隙尺度跨度大（从纳米级到微米级）, 且不同尺度孔隙的形成机制和结构特征差异显著, 例如, 致密砂岩（含有粒间孔、溶蚀孔和微裂缝, 孔隙分布离散）、页岩（同时发育有机质微孔、黏土矿物层间孔, 分形特征差异大）、高演化煤岩或构造煤（受构造或热演化影响, 微孔、裂隙与大孔混合分布, 结构破碎）等^[11]。

随着储层孔隙结构复杂程度升高, 当孔隙存在显著尺度差异（如微孔与大孔自相似性不同）或形成机制分异时, 多重分形模型可更精准地表征不同尺度孔隙的非均质性。以吐哈盆地大南湖煤田西山窑组煤样基于N₂吸附数据的多重分形分析为例（图2）, 可以观察到以下特征：代表性样品配分函数χ（q, ε）与测度ε的双对数曲线呈现良好的线性关系（图2a）, 证实了介孔分布具有多重分形行为; 质量标度函数τ（q）与统计矩阶q之间存在非线性关系（图2b）, 进一步验证了多重分形特征; 广义分形维数D（q）随统计矩阶q的增大而减小, 呈现“反转S形”曲线特征（图2c）, 表明介孔连通性良好; 多重分形奇异谱f[α（q）]与α（q）曲线呈现上凸的抛物线特征（图2d）, 且奇异谱呈现出明显的右钩状, 指示了大孔隙数量少但对整体渗流的控制作用突出, 小孔隙数量多但对渗流的影响甚微。

图2

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	图2 吐哈盆地大南湖煤田西山窑组煤样基于N2吸附数据的多重分形（据参考文献[13]）

2.1.1 实验原理与数据基础

压汞法（MIP）基于非润湿流体（汞）在压力作用下克服毛细管阻力进入多孔介质孔隙的原理测定孔隙结构, 其核心为Washburn方程：

pc=2γcosθd（1）

式中：p_c为毛管压力, MPa; γ为汞的表面张力, mN/m（在常温常压下, 其值约为4.85 mN/m）; θ为汞与岩石的接触角, 常温下约140°; d为孔隙直径, μm。

公式（1）表明, 汞能够侵入的孔隙半径与外加压力成反比。通过控制压力, 可依次测量不同尺寸孔隙的汞饱和度变化, 进而通过压力与汞饱和度曲线（图3a）和孔径分布曲线（图3b）, 分析岩石的孔径分布、孔隙喉道大小与汞饱和度的关系等孔隙结构特征。由压力与汞饱和度曲线可提取排驱压力（汞开始大量进入孔隙的临界压力）、中值压力（进汞饱和度50%时的压力）、孔喉半径分布、退汞效率等核心参数。进行数据处理时, 需将压力-体积数据换算为孔径-体积分布, 并结合曲线形态分析孔隙非均质性。对于复杂储层, 常需通过分段拟合来区分不同尺度孔喉的贡献。

图3

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	图3 沁水盆地东北部深部煤系砂岩压汞曲线（据参考文献[14]）

2.1.2 分形模型与计算方法

基于压汞数据计算分形维数的模型主要有Brooks-Corey法和LiKewen法两种。

2.1.2.1 Brooks-Corey法

Brooks R H与Corey A T提出了一种毛管压力计算模型, 计算式如下：

SW*=（pc/pe）D-3（2）

将上式两边取对数得：

lgSW*=（D-3）lgpc-（D-3）lgpe（3）

式中：SW*为归一化湿相饱和度, %; p_c为毛管压力, MPa; p_e为进入压力, 即最大半径孔隙对应的压力, MPa; D为分形维数。

由公式（3）可知, 在双对数坐标下, p_c与SW*呈线性关系, 直线斜率为（D-3）, 由此可求得分形维数（D）。此法适用于孔喉分布较宽且进汞曲线存在明显平台段的常规储层（如砂岩）。然而, 对于低渗致密储层（如页岩、致密砂岩）, 其进汞曲线往往缺乏平台段, 导致进入压力（p_e）难以准确确定, 从而限制了该方法的适用性。

当孔隙结构具有单一分形特征时, lgp_c与lgSW*关系曲线呈单一线性段; 若出现明显拐点, 则表明存在多重分形特征, 需分段计算不同孔径区间的分形维数（如D₁、D₂、D₃分别对应大孔、介孔和微孔）。不同区间的分形维数差异反映了各尺度孔隙非均质性的程度, 通常主控孔隙区间的分形维数可用于表征储层整体的复杂程度（图4）^{[14, 15]}。

图4

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	图4 沁水盆地东北部深部煤系砂岩孔隙分形曲线（据参考文献[14]）

2.1.2.2 LiKewen法

LiKewen推导出进汞饱和度（S_Hg）、毛管压力（pc）与储层的分形维数（D）之间的关系, 其计算公式如下：

SHg=pcD-2（4）

将上式两边取对数得：

lgSHg=（D-2）lgpc（5）

根据公式（5）可知, 在双对数坐标中,pc与S_Hg呈线性关系, 其斜率为（D-2）, 由此可计算求得分形维数（D）^[16]。

与Brooks-Corey法相比, LiKewen法无需确定排驱压力, 能充分利用全部压汞数据, 因而适用性更广, 尤其适用于孔隙结构复杂、非均质性强的致密砂岩、页岩等。以莺歌海盆地黄流组储层为例（图5）^[17], 其压汞曲线的分形关系在双对数坐标中呈现多段线性特征, 拟合优度（R²）多大于0.8, 揭示了储层的多重分形特性。以转折点对应的孔喉半径为界, 可将孔隙划分为大、中、小3个区间并分别计算不同孔隙区间的分形维数（D₁、D₂、D₃）。值得注意的是, 4类储层中, 中等孔径区间的分形维数D₂普遍大于3, 这超出了传统理论范围, 指示该区间孔隙结构具有极强的非均质性与复杂性。

图5

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	图5 莺歌海盆地东方A-1区黄流组一段4类压汞曲线的孔喉分形曲线（据参考文献[17]）

2.2.1 实验原理与数据基础

气体吸附法（Adsorption）是表征纳米级孔隙结构的一种重要手段, 通常联合使用N₂吸附（温度77 K）和CO₂吸附（温度273 K）。N₂吸附基于毛细凝聚原理, 主要用于表征2~50 nm的介孔, 可获得吸附-脱附等温线（图6）^[18]; CO₂吸附基于微孔填充理论, 以其在温度273 K下更高的动力学能量, 能更有效表征<2 nm的微孔（图7）^[19]。两种方法的核心数据均为吸附气量与相对压力（p/p₀）的关系曲线。

图6

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	图6 四川盆地焦石坝地区五峰组-龙马溪组页岩N2吸附-脱附曲线特征及孔径分布特征（据参考文献[18]）

图7

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	图7 川南地区龙马溪组混合质页岩CO2吸附及孔径分布（据参考文献[19]）

2.2.2 分形模型与计算方法

目前, 研究人员基于N₂吸附实验建立了一系列分形模型, 包括FHH（Frenkel-Halsey-Hill）模型、NK（Neimark-Kiselev）模型、AJ（Avnir-Jaroniec）模型以及ZL（Zhang-Li）模型。其中FHH和NK模型理论基础坚实, 结果可靠, 应用范围广泛, 尤其FHH模型计算简便、最为常用, 结果也直观明了; AJ模型则需要多种吸附质, 实用性相对较低; ZL模型较为复杂, 目前仍在不断发展中。总体而言, FHH和NK是目前较为常用的两种模型。

基于CO₂吸附实验研究微孔分形的模型主要基于微孔填充和吸附势理论。其中最核心和常用的是基于 DA（Dubinin-Astakhov）理论的模型, 该模型源自Polanyi吸附势理论, 通过吸附体积与相对压力对数的平方之间的线性关系来求取分形维数, 是处理微孔填充的标准方法, 物理意义明确且应用广泛。另一重要模型是基于NK（Neimark）理论的热力学模型, 其从热力学角度出发, 利用吸附势能与表面积变化的关系推导分形维数, 理论严谨且不依赖特定孔形假设, 被认为结果更为可靠。此外, 还有如WL（Wang-Li）模型等修正方法, 尝试将FHH模型扩展至微孔领域以统一描述吸附机理, 但模型较为复杂。需要指出的是, 尽管DA模型在微孔吸附研究中应用广泛, 但在煤岩微孔分形研究中, 为强调与实验吸附等温线更直接相关的表达式, 主要采用NK模型与V-S模型。V-S模型最早由Mandelbrot提出, 利用固体多孔介质的孔体积和比表面积相关性来计算对应孔径孔隙的分形维数值, 尽管在煤岩研究中应用较少, 但煤岩作为多孔介质符合其理论假设, 且已有研究表明该模型在微孔结构表征中具有较高的计算精度和稳定的拟合性能^[20]。下面主要阐述3种常用模型的计算方法。

2.2.2.1 FHH模型

FHH模型是N₂吸附分形表征中最常用的模型, 其计算式如下：

lnVp=b+aln（lnp0p）（6）

式中：V_p为平衡吸附量, mL/g; a为拟合直线的斜率; b为截距, 受吸附质分子大小、孔隙形状及温度等因素影响; p₀为气体在吸附温度下的饱和蒸气压, MPa; p为实验中的实际压力, MPa。

基于FHH模型, 通常以lnV_p对ln[ln（p₀/p）]作图, 通过线性拟合求取斜率a, 进而由分形维数的计算公式D=a+3得到D^[21]。在实践中, 常根据相对压力将曲线分为高压区（p/p₀≥0.5, 反映渗流孔结构）和低压区（p/p₀<0.5, 反映吸附孔结构）, 并分别计算其分形维数D_H和D_L（图8）^[22]。

图8

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	图8 胜利煤田褐煤N2吸附孔隙分形维数（据参考文献[22]）

2.2.2.2 NK模型

NK模型是CO₂吸附分形表征中结果更为可靠的模型, 该模型从热力学角度出发, 将吸附过程视为新表面的生成过程。基于Gibbs方程, 认为将吸附剂表面从吸附膜覆盖下的“核心”表面积扩展到实际表面积所需的功与相对压力有关。对于分形表面, 此关系也遵循幂律定律：

lnSNK=C+D-3lnδ（7）

式中：S_NK为根据吸附数据计算的等效表面积, m²/g; δ为吸附膜厚度, nm; C为常数。

2.2.2.3 V-S模型

对于CO₂吸附表征的微孔体系, V-S模型是具有较高计算精度表征的方法之一。该模型基于吸附势理论和孔径分布函数, 其关系式为：

lnV=3DwlnSVS+C（8）

式中：V为不同压力条件下吸附质体积, cm³/g; D_w为V-S模型拟合得到的微孔分形维数; S_VS为孔隙累计比表面积, m²/g。

通过在双对数坐标下拟合lnV与lnS_VS的数据点, 其线性关系的斜率即为3/D_w（图9）。拟合优度（R²）越高, 表明孔隙结构在该尺度范围内的分形特征越显著。例如, 张黎明等^[23]对贵州糯东煤矿高阶煤的研究显示, 低温CO₂吸附数据在V-S模型中线性关系良好（R²≥0.998）, 计算得到的分形维数D₃介于2.453~2.492之间, 与前人研究结果吻合。

图9

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	图9 糯东煤矿CO2吸附V-S模型分形拟合（据参考文献[23]）

2.3.1 实验原理与数据基础

核磁共振技术基于氢核在磁场中的弛豫特性来表征孔隙结构。当岩石饱和水后置于磁场中, 氢核被极化, 撤去射频脉冲后测量其横向弛豫时间（T₂）分布（图10）^[24]。T₂值与孔径大小正相关（T₂∝r）。小孔隙对应短T₂, 大孔隙对应长T₂^{[25, 26, 27, 28]}。通过对T₂图谱的分析, 可获得孔隙尺寸分布和流体赋存信息, 其有效表征孔径范围为4 nm至1 000 μm。

图10

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	图10 山西吕梁原生煤样饱水样及离心样T2图谱（据参考文献[24]）

2.3.2 分形模型与计算方法

核磁共振分形分析常采用累积体积法, 其模型计算式如下：

lgSV=（3-D）lgT2+C（9）

式中：SV为横向弛豫时间小于某T₂值的累积孔隙体积, μm³。

在双对数坐标下, lgS_V与lgT₂呈线性关系, 其斜率为（3-D）, 由此可求得分形维数D。鉴于全T₂图谱常呈现多段特征, 分段计算更为常见。

2.3.2.1 拐点分割法

以T₂谱的天然拐点（如T₂=10 ms）为界, 将孔隙系统划分为纳米级微孔（短T₂段）和微米级孔隙（长T₂段）, 并分别计算其分形维数D_min和D_max。D_min反映较小孔隙的表面粗糙度和非均质性, D_min越大, 较小孔隙结构越复杂; D_max则表征较大孔隙的整体复杂性, D_max越小, 意味着孔隙连通性越好, 越有利于渗流（图11）。

图11

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	图11 新疆阿克苏地区矿样核磁共振孔隙结构分形维数（据参考文献[25]）

2.3.2.2 流体分割法

又称“单T₂c”法, 该方法基于“饱水-离心”联测获得的T₂截止值（T₂c）, 将孔隙系统划分为束缚流体孔和可动流体孔, 并分别计算其分形维数D_bf和D_mf。D_bf反映束缚流体赋存空间的复杂程度, D_bf越大, 结构越不规则; D_mf表征可动流体孔隙的复杂程度, D_mf越小, 通常指示其连通性越好, 对渗流贡献越大（图12）。此外, 还存在“双T₂c”法等更复杂的模型, 但其准确性与适用性仍需进一步验证。

图12

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	图12 核磁共振“单T2c”法（据参考文献[29]）

准确表征孔隙结构的分形特征是量化非均质性和评价储层物性的关键。压汞法、气体吸附法和核磁共振法在分形表征中各具特色, 其适用性在尺度、样品和技术特点上存在显著差异（表1）。

表1

表1

表1 3种实验方法的分形表征适用性对比 实验方法 核心优势 适用孔径范围 分形模型 适用储层类型 压汞 覆盖纳米-微米级孔隙, 含裂隙 10 nm~1 000 μm 毛管压力计算模型 致密砂岩、含裂隙页岩 气体吸附 纳米微孔分辨率高 <50 nm （以<2 nm为优） FHH模型、NK模型、 V-S模型 页岩、煤岩等富微孔储层 核磁共振 非破坏性, 可区分流体类型 4 nm~1 000 μm 累积体积模型 全类型致密储层

表1 3种实验方法的分形表征适用性对比

压汞法主要覆盖孔径10 nm至1 000 μm的中-大孔, 尤其适用于致密砂岩等坚硬岩石, 能直接获取孔径分布, 操作简便, 适合批量分析。但其高压环境可能破坏松软或脆性样品（如部分页岩、煤岩）的结构, 且对微孔（<2 nm）表征能力有限^[30]。

气体吸附法特别是CO₂吸附与低温N₂吸附, 在纳米孔表征方面具有独特优势。CO₂吸附专注于微孔（<2 nm）, N₂吸附主要针对介孔（2~50 nm）。两者结合可实现微-介孔的全尺度精细表征, 但其对封闭孔和超大孔隙的识别能力不足^[31]。

核磁共振法具有无损检测的优势, 可表征从微孔到微裂隙的全尺度孔隙, 并能区分束缚流体与可动流体, 对评价储层渗流能力至关重要^[32]。然而, 其对极小微孔（<0.7 nm）的表征精度相对较低, 且结果易受岩石中顺磁性矿物的影响。此外, T₂谱不能直接转化为孔径, 故需与气体吸附、压汞法联合使用以覆盖全孔径范围。

综上所述, 单一技术难以全面表征致密储层的复杂孔隙系统, 多种方法联合应用已成为必然趋势。

大量研究表明, 致密储层的分形维数普遍具有分段特征, 单一方法难以实现全孔径的精确表征, 所以多方法数据融合成为构建全尺度孔隙复杂度评价体系的有效途径。例如, 通过曲线拼接法整合CO₂吸附和N₂吸附数据, 可以清晰地展示从微孔到介孔的孔容增量变化（图13）。李天等^[33]研究神木地区延安组煤岩发现, 孔容主要集中于微孔（占总孔容的62.9%~84.7%）, 且在孔径0.85 nm附近出现孔容增幅峰值, 指示该孔径下孔隙最为发育。联孔法即低温N₂吸附和CO₂吸附的曲线拼接, 它是依据临界状态下N₂、CO₂的毛细管凝聚估算孔径分布, 可获得较为准确的比表面积和孔径分布比例。核磁共振与联孔法的对比结果, 在微孔和介孔分布上表现出良好的一致性, 但在大孔表征上可能存在差异, 这就需要引入其他技术（如CT扫描）进行综合研判。分形维数的分段特征深刻揭示了储层内部孔隙结构的复杂性与非均质性, 这对于精确评估储层的储集与渗流能力具有重要指导意义。

图13

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	图13 鄂尔多斯盆地神木地区延安组四段煤孔容与孔径的变化关系（据参考文献[33]）

分形维数与储层物性参数（如孔隙度、渗透率）及矿物组成之间存在密切的联系。刘硕等^[34]对鄂尔多斯盆地延长组储层的研究表明, 基于压汞的总分形维数与孔隙度、渗透率呈负相关（图14）。其中, 中孔分形维数与物性的负相关性最为显著, 且拟合优度R²较高, 说明较大孔喉的复杂程度是控制储层物性的主要因素; 而过渡孔分形维数和微孔分形维数与物性之间呈正相关, 但拟合优度R²较低, 相关性较弱, 表明其对渗流能力的直接影响较小。

图14

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	图14 鄂尔多斯盆地伊陕斜坡中东部延长组长6段分形维数与孔喉结构参数的关系（据参考文献[34]）

在特殊储层（如构造煤）中, 分形维数与物性的关系更具指示意义。武轶凡等^[24]研究发现, 构造煤的吸附孔分形维数大于原生煤, 而渗流孔分形维数略小, 这表明构造煤更利于瓦斯渗流, 而原生煤则更利于瓦斯吸附。当储层以微-介孔为主时, 分形维数对渗透率的指示作用尤为突出。张利飞等^[25]对含铀泥砂岩的研究证实, D_max（代表较大孔隙的分形维数）与渗透率呈显著的指数负相关, 因为D_max越大意味着主要渗流通道越复杂、连通性越差, 而D_min（代表较小孔隙的分形维数）对渗透率影响甚微。

分形维数同样受物质组成的控制。如图15所示^[35], 分形维数D₁与石英、长石含量呈负相关, 因为这些刚性矿物倾向于形成相对平滑的孔喉和溶蚀孔道, 简化了孔隙结构; 其与方解石和黏土矿物含量呈正相关, 这是因为方解石胶结物会堵塞孔喉, 而黏土矿物遇水膨胀会充填孔隙, 二者均导致孔隙结构复杂化。

图15

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	图15 吴起地区延10段致密砂岩储层分形维数与矿物组分的关系（据参考文献[35]）